科學人／搬家具總是卡角落？數學家找出「移動沙發問題」最佳解

年關將近，是不是在準備大掃除了呢？搬過家或是大幅度翻新家裡的人大概都遇過這個問題：該如何把床舖、沙發、冰箱、洗衣機等大型傢俱，從狹窄的轉角或是走道搬到預期的位置而不被卡住？

了解所謂的「移動沙發問題」（moving sofa problem），或許對於生活中經常出現的搬運問題，提供你一些靈感。

什麼是「移動沙發問題」？

移動沙發問題自1966年由數學家穆瑟（Leo Moser）首次提出後，一直未被解決。最近南韓延世大學（Yonsei University）的數學家白珍彦（Jineon Baek）聲稱破解了這一問題，並在arXiv預印本伺服器上發布了一篇超過100頁的證明。

穆瑟最初的想法是，能否藉由數學證明，找到在一個單位寬的空間（如走廊），能將特定形狀的平面物體，轉過直角的轉角而不被卡住的最大尺寸沙發。

這篇以此如此強硬的二維條件作為出發點的論文足足有190頁，但摘要只有極度精煉的一句話，盡顯數學家和數學論文的風采：「我們證明了具有18個曲線段的葛沃（Gerver）沙發的確達到了最大面積 2.2195，進而解決了移動沙發問題。」

葛沃沙發，最有可能的最佳解

英國數學家漢莫斯理（John Hammersley）曾經以為他找到了移動沙發問題的最佳解（沙發形狀的最大值），約化沙發面積約等於2.2074，但是他無法提出嚴格證明。

1992年美國數學家葛沃（Joseph Gerver）改良漢莫斯理的沙發形狀，在局部上使用微分方程尋求最佳解，解出了3段直線與15段曲線，連結起來得到形似漢莫斯理的沙發，面積稍微擴大到2.2195。葛沃自認找到了「搬運沙發問題」的最佳解，可是他也沒有提出嚴格的數學證明，但是目前為止也沒有人找到更大的沙發。

再次挑戰數學證明

葛沃沙發是一種由羅格斯大學教授葛沃（Joseph Gerver）於1992年提出的數學構造，基本上是一個前方呈U形的長方體，後方平坦且有圓角，前方帶有平坦的扶手。

白珍彦在論文中逐步推進證明，並引入新的想法重新修正了葛沃教授原始證明存在的邏輯漏洞，最終得出結論：對於一個單位寬的走廊，葛沃沙發的最大面積只能是2.2195單位。

在證明過程中，白珍彦也精確地定義了他所使用的葛沃沙發形狀，不同形狀的沙發，也會導致不同的結果。

現實應用與考驗

由於沙發形狀在一開始就被明確定義，白珍彦的結果應能使現實生活中試圖將沙發搬過轉角的人滿意，前提是該沙發符合證明中所定義的葛沃沙發形狀。

也就是說，如果你看到這裡，應該會有跟我一樣的疑問，有誰會買這種中間缺一大塊，不能肩併著肩的「分床睡」沙發？人類雖然不會飛，但是人類也不像是螞蟻那樣純粹的二維生物，搬運大型物件時只能以平移的方式過去（請見：顛覆三觀！螞蟻的群體智慧完勝人類），現實世界的沙發，通常都具有椅背，當沙發卡在轉角過不去的時候，我們自然會朝向第三個空間旋轉，試圖找到特別的角度繞過去，看來數學上的沙發過不去，距離現實生活還有很遙遠的距離⋯⋯

如同所有數學證明一樣，白珍彦的證明還需要經過其他數學同行的審查，以確保其正確性並真正提供該問題的最佳解法。只是這篇文章的篇幅不短，就讓我們一起拭目以待這個故事的發展吧！

資料來源：

1. Mathematician solves the moving sofa problem

2. Jineon Baek, Optimality of Gerver's Sofa, arXiv (2024). DOI: 10.48550/arxiv.2411.19826

（本文出自2025.01.14《科學人》網站，未經同意禁止轉載。）